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Fonction de Weierstrass et courbes elliptiques

Nous aurons besoin de la fonction $\wp$ de Weierstrass qui est à la base de la théorie des courbes elliptiques dont les résultats suivants dérivent [Bayad], [Lang]. Soit R le réseau ${\mathbb Z}\omega_1+{\mathbb Z}\omega_2$.$\wp$ est définie par

\begin{displaymath}
\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega \in R^*} 
\Bigl (\frac{1}{ (z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\Bigr )\end{displaymath}

On peut sommer sur R car il y a convergence normale donc commutative.

On note

\begin{displaymath}
g_2=60 \sum_{\omega \in R^*} \frac{1}{\omega^4} {\rm \ \ et \ \ } 
g_3=140 \sum_{\omega \in R^*} \frac{1} {\omega^6}.\end{displaymath}

On obtient ainsi la formule clef reliant la fonction de Weierstrass aux courbes elliptiques, permettant de considérer $\wp$ comme une ``paramétrisation'' de la courbe elliptique E :

\begin{displaymath}
\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3.\end{displaymath}

Ainsi ($\wp,\wp'$) paramétrise Y2=4X3-g2X-g3, de discriminant : $\Delta=g_2^3-27g_3^2\not = 0$.On a ainsi un isomorphisme entre ${\mathbb C}/R$ et E donné par $z\mapsto (\wp(z),\wp'(z))$.



Cyril Banderier
7/23/1997