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Une formule accorte

L'article Loi de réciprocité dans les corps quadratiques imaginaires, Annales de l'Institut Fourier, 1995, de A. Bayad, nous donne, dans un tel corps ${\mathbb K}$ :

\begin{displaymath}
\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_2 . \left(\frac{\beta}{\al...
 ...)-1}{2} (-1)^{ \frac{N (\alpha)-1} {2} \frac{N (\beta)-1}{ 2}}.\end{displaymath}

Dans les précisions suivantes $\nu$ désigne à la fois α et β , des entiers algébriques. $N(\nu)$ désigne la norme de $\nu$ dans ${\mathbb K}/{\mathbb Q}$.

Rappel sur l'anneau ${\mathbb A}$ des entiers de ${\mathbb Q}(\sqrt{d})$ :
si $d \equiv 1 \ [4]$ alors

\begin{displaymath}
{\mathbb A}={\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{ 2}]=\{\frac{u+v \sqrt{d} }{2} \ \vert \ u,v \in {\mathbb Z}, u\equiv v \ [2] \}\end{displaymath}

et le discriminant est donné par $D_{\mathbb K}=d$ ;
si $d\equiv 2,3 \ [4]$ alors

\begin{displaymath}
{\mathbb A}={\mathbb Z}[\sqrt{d}]={\mathbb Z}+\sqrt{d}{\mathbb Z}\end{displaymath}

et le discriminant est donné par $D_{\mathbb K}=4d$.



Cyril Banderier
7/23/1997