Extraction de racine carrée

`` Votre mémoire est fort bien fait, vous y avez inclus deux de vos derniers théorèmes qui m'ont l'air très prometteurs. Vous avez trouvé une astuce très jolie pour montrer l'unicité de la décomposition mais vous n'avez pas montré l'existence et pour cause...Je vous renvoie à l'article de Mantnie qui vient de démontrer que vous nous avez parlé de l'ensemble vide ! '' Un directeur de thèse.

Puisque nous savons désormais facilement si un nombre est un carré ou non, il est temps de donner une méthode effective de calcul de la racine carrée [Naudin]. Le cas où la caractéristique est 2 étant trivial (car alors x²=x), nous ne perdons rien à supposer que nous sommes dans un corps ${\mathbb K}$ de caractéristique $\not = 2$.Notons $\char93 {\mathbb K}$ son cardinal, on a alors u carré si et seulement si $u^{\frac{\char93 {\mathbb K}-1}{2}}=1$.

Si $\char93 {\mathbb K}\equiv 3 \ [4]$, la racine carrée s'obtient directement par $\sqrt{u}=u^\frac{\char93 {\mathbb K}+1}{ 4}$, que l'on calculera rapidement en utilisant l'algorithme d'exponentiation dichotomique. Si #${\mathbb K}\equiv 1 [4]$, on a deux célèbres méthodes :