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Avec les notations précédentes, on a :
.Preuve :
On a
![\begin{displaymath}
\tau^2=\tau.\tau=(\sum_x \left(\frac{x}{q}\right)\omega^x)
(...
...ght)\omega^y)= \sum_{x,y}\left(\frac{xy}{q}\right)\omega^{x+y}.\end{displaymath}](img205.gif)
Réalisons le changement de variable y=xz et, en utilisant
![\begin{displaymath}
\left(\frac{xy}{q}\right)=\left(\frac{x}{q}\right)^2 \left(\frac{z}{q}\right)=\left(\frac{z}{q}\right),\end{displaymath}](img206.gif)
on
a :
![\begin{displaymath}
\tau^2=\sum_z \left(\frac{z}{q}\right) \sum_x \omega^{x(1+z)}.\end{displaymath}](img207.gif)
Or
![\begin{displaymath}
\sum_{t \in {\mathbb F}_q} \omega^t=1+\omega+\dots+ \omega^{p-1}=0,\end{displaymath}](img208.gif)
par conséquent
![\begin{displaymath}
{\sum_{t \in {\mathbb F}_q^*} \omega^t=-1}.\end{displaymath}](img209.gif)
Si
, l'application
est une permutation de
donc
![\begin{displaymath}
\sum_x \omega^{x(1+z)}=-1\end{displaymath}](img213.gif)
et
donc
![\begin{displaymath}
{\tau^2=\left(\frac{-1}{q}\right) (q-1) + \sum_{z \not = -1} -\left(\frac{z}{q}\right)}.\end{displaymath}](img214.gif)
Si on utilise maintenant
le fait qu'il y a dans
autant de carrés que de non carrés, ce
qui entraîne
![\begin{displaymath}
\sum_{x \in {\mathbb F}_q^*} \left(\frac{x}{q}\right)=0,\end{displaymath}](img215.gif)
on
obtient ce que l'on voulait :
![\begin{displaymath}
\tau^2= \left(\frac{-1}{q}\right) (q-1)+\left(\frac{-1}{q}\right)= \left(\frac{-1}{q}\right) q.\end{displaymath}](img216.gif)
Une généralisation abstraite (le théorème de Kronecker-Weber) affirme
que tout corps de nombres algébriques
dont le groupe de Galois sur
est commutatif est un sous-corps d'un corps
cyclotomique.
Cyril Banderier
7/23/1997