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Avec les notations précédentes, on a : .Preuve :
On a
Réalisons le changement de variable y=xz et, en utilisant
on
a :
Or
par conséquent
Si , l'application est une permutation de
donc
et
donc
Si on utilise maintenant
le fait qu'il y a dans autant de carrés que de non carrés, ce
qui entraîne
on
obtient ce que l'on voulait :
Une généralisation abstraite (le théorème de Kronecker-Weber) affirme
que tout corps de nombres algébriques
dont le groupe de Galois sur est commutatif est un sous-corps d'un corps
cyclotomique.
Cyril Banderier
7/23/1997