Le symbole de Jacobi

On trouvera dans [Naudin] une approche du symbole de Jacobi par Zolotarev basée sur la signature d'une permutation. Nous utiliserons la définition classique.
On prolonge le symbole de Legendre par $\left(\frac{a}{b}\right)=0$ si a est un multiple de b. Pour $a \in {\mathbb Z}$ et b entier impair, on définit le symbole de Jacobi par $\left(\frac{a}{b}\right)=\prod_i \left(\frac{a}{p_i}\right)$ avec $b=\prod_i p_i$ décomposition de b en facteurs premiers.On peut d'ores et déjà remarquer que $\left(\frac{a}{b}\right)=0$ si et seulement si a et b ne sont pas étrangers.
Ainsi, si a est un carré modulo b (b étant étranger avec a) alors $\left(\frac{a}{b}\right)=1$. On remarquera aussi que $\left(\frac{a}{b}\right)=-1 \Longrightarrow a$est non carré modulo b mais qu'on peut avoir $\left(\frac{a}{b}\right)=1$ sans que a soit un carré modulo b. Exemple : $\forall a \in {\mathbb Z}\ \left(\frac{a}{9}\right)=\left(\frac{a}{3}\right) \left(\frac{a}{3}\right)=1$, or a=5 n'est pas un carré dans ${\mathbb Z}/9{\mathbb Z}$. Il est facile de voir que le symbole de Jacobi est un symbole totalement bimultiplicatif : il est totalement multiplicatif en sa première variable car

$$\left(\frac{a_1 a_2}{b}\right)=\left(\frac{a_1}{b}\right) \left(\frac{a_2}{b}\right)$$

et il est totalement multiplicatif en sa deuxième variable car

$$\left(\frac{a}{b_1 b_2}\right)=\left(\frac{a}{b_1}\right) \left(\frac{a}{b_2}\right).$$

Par conséquent, la loi de réciprocité, une fois démontrée pour le symbole de Legendre (ce que nous ferons dans le chapitre suivant), vaut aussi pour le symbole de Jacobi ; on obtient la loi de réciprocité généralisée :

$$\left(\frac{a}{b}\right)=\left(\frac{b}{a}\right) (-1)^\frac{(a-1)(b-1)}{ 4}.$$

La multiplicativité du symbole de Jacobi en fait un caractère réel, on a vu l'importance de cette notion au §