Emma Lehmer (en 1958) et Klaus Burde (en 1969) ont donné respectivement les formules suivantes, sous l'hypothèse :
où p=a2+b2 et q=A2+B2 avec .Ces deux formules sont en fait équivalentes.Emma Lehmer et Ezra Brown en 1971 ont également donné, pour tels que p=c2+qd2 : si et si . Il faut savoir que tout nombre premier et carré modulo q est du type c2+qd2 pour q=5, 13 et 37.
Citons maintenant la loi de réciprocité de Scholz (1934), puisqu'il faut rendre à César ce qui appartient à César, et à la théorie des corps de classes ce qui appartient à la théorie des corps de classes :
En fait cette formule a été redécouverte, plus de trente ans après, sous la forme , par induction sur les résultats suivants concernant les unités quadratiques (i.e. les éléments de norme ) : p=c2+32d2 ; p=c2+qd2 avec q impair ; est toujours un résidu quadratique modulo p.