Kummer, après vingt années de travail pour calculer les nombres de classes d'idéaux dans les anneaux ,a pu donner la liste des nombres premiers irréguliers (i.e. les nombres premiers impairs qui ne sont pas réguliers) p inférieurs à 163.
p : | 37 | 59 | 67 | 101 | 103 | 131 | 149 | 157 |
``Multiples'' de p : | B34 | B44 | B58 | B68 | B24 | B22 | B130 | B62 et B110 |
Pour ce faire, il a utilisé le critère de Kummer :
un entier premier impair est régulier si et seulement si p ne divise
dans aucun des nombres de Bernoulli i.e. si et seulement si p ne divise aucun des numérateurs des nombres de
Bernoulli . Ceci est équivalent à ce que p2 ne
divise aucune des sommes pour .
Rappel : est le localisé de en p, i.e. l'ensemble des rationnels dont le dénominateur est étranger avec p : on peut le voir comme l'anneau local des fractions de par rapport au complémentaire de l'idéal premier (p). Un anneau local est un anneau commutatif unitaire n'ayant qu'un seul idéal maximal.
Théorème de Jensen :
Il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers congrus à 3 modulo 4.
Théorèmes de Metsänkylä :
- Il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers congrus à 1 mod 3
ou à 1 mod 4. On ne sait toutefois même pas si
l'une de ces deux classes est infinie.
- Les classes du complémentaire de tout sous-groupe propre de
contiennent une infinité d'entiers premiers irréguliers (modulo n,
bien sûr).
Il est clair que le théorème de Jensen n'est qu'alors un corollaire
immédiat de ce théorème pour n=4.
Théorème de Kummer :
La conjecture de Fermat est vraie pour tout exposant p entier premier
régulier.
Cette conjecture marginale affirme, on le rappelle :