Calcul de $\left(\frac{-3}{p}\right)$

Il s'agit de calculer $\mu$ pour m=-3, i.e. le nombres de résidus minimaux de $\{-3, -6, \dots, -3 \frac{p-1}{2}\}$strictement négatifs. On est donc ramené à compter les entiers k tels que : p/2 <-3k<p.

• Si $1 \leq k <p/6$ alors $p/2<p-3k \leq p-3 < p$, les résidus minimaux sont strictement négatifs.
• Si p/6 < k <p/3 alors 0<p-3k<p/2, les résidus minimaux ne sont pas strictement négatifs, donc on ne retient pas ces valeurs de k.
• Si p/3 < k < p/2 alors p/2<2p-3k < p, les résidus minimaux sont strictement négatifs.

Ainsi, les valeurs de k pour lesquelles les résidus minimaux sont strictement négatifs sont : $1,2,\dots,E(p/6)$ et $E(p/3)+1, E(p/3)+2, \dots, E(p/2)$ donc $\mu = E(p/6)+E(p/2)-E(p/3)$.D'où si p=6n+1 alors $\mu = n +3n -2n$ est pair et si p=6n+5 alors $\mu = n +(3n+2) -(2n+1)$ est impair.

En résumé : -3 est un carré modulo $p\geq 5 \Longleftrightarrow p=6n+1$.