On en déduit le critère d'Euler : x est carré non nul si et seulement si
x(p-1)/2=1.
En résumé, avec le symbole de Legendre : .
Il est intéressant de citer le critère d'Euler généralisé aux résidus n-ièmes : en posant q=pgcd(n, p-1), est résoluble si et seulement si et il y a alors q racines modulo p. On a donc, au total, 1+(p-1)/q résidus n-ièmes et (q-1)(p-1)/q non résidus dans .
Vinogradov a par ailleurs montré que le nombre R de résidus quadratiques compris entre 1 et est où et a formulé l'hypothèse que la distance entre deux non résidus est , Linnik a d'ailleurs montré que c'était ``presque toujours'' le cas. En outre, le plus petit non résidu quadratique est .