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Gérard H. E. Duchamp Laboratoire d'Informatique de Paris-Nord UMR CNRS 7030 Institut Galilée - Université Paris-Nord 99, avenue Jean-Baptiste Clément 93430 Villetaneuse France Office: A105 Phone: +33 1 49 40 28 62 Fax: +33 1 48 26 07 12 E-mail: ghed at lipn.univ-paris13.fr |
Je suis actuellement le "Co-Editeur en chef" de ce journal.
G. Duchamp, C. Reutenauer, Un critère de rationalité provenant de la géométrie non-commutative (à la mémoire de Schützenberger),
Inventiones Mathematicae, 128, 613-622, (1997).
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Résumé Nous donnons, à l'aide de la théorie des automates, une preuve d'une conjecture que Alain Connes a publié dans son livre "Non Commutative Geometry". Cette conjecture fournit un critère de rationalité pour les éléments de la fermeture (rationnelle) de $\C[\Gamma(X)]$ (algèbre à coefficients complexe d'un groupe libre de base $X$), dans l'espace des opérateurs bornés de $l^2(\Gamma(X))$. Nous montrons que ce critère s'applique aussi à l'anneau des séries de Malcev-Neumann sur le groupe ordonnable $\Gamma(X)$.
Abstract Using the theory of automata, we prove a conjecture of Alain Connes published in his book ``Non Commutative Geometry''. This conjecture provides a rationality criterion for elements of the (rational) closure of $\C[\Gamma(X)]$ (complex algebra of the free group with basis $X$) in the space of bounded operators in $l^2(\Gamma(X))$. We show that this criterion applies also to the ring of Malcev-Neumann series on the orderable group $\Gamma(X)$.
G. Duchamp, K.A. Penson, A.I. Solomon, A. Horzela and P. Blasiak, One-Parameter Groups and Combinatorial Physics , Proceedings of the Third International Workshop on Contemporary Problems in Mathematical Physics
(COPROMAPH3), Porto-Novo (Benin), November 2003, J. Govaerts, M. N. Hounkonnou and A. Z. Msezane Eds., p. 436, World Scientific Publishing, Singapore (2004).
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arXiv : quant-ph/0401126
Résumé Dans cet article, on s'intéresse aux opérateurs $\Omega$ qui sont combinaisons linéaires du type $\Omega=\sum c_{r,s} (b)^r a (b)^{s}$ où a (resp. b) est l'opérateur d'annihilation (resp. de création) bosonique ; ces opérateurs satisfont la relation de Heisenberg-Weyl [a, b]= ab - ba = 1 et, dans cette note, on peut considérer par exemple que a = d/dx and b = x. Nous discutons l'intégration des groupes à un paramètre $exp(t \Omega)$ et ses conséquences combinatoires. En particulier, on montre comment ces groupes se réalisent comme groupes de substitutions avec préfonction.
Abstract In this communication, we consider the normal ordering of operators of the type $\Omega=\sum c_{r,s} (b)^r a (b)^{s}$ where a (resp. b) is a boson annihilation (resp. creation) operator; these satisfy the Heisenberg-Weyl commutation [a, b]= ab - ba = 1, and for the purposes of this note may be thought of as a = d/dx and b = x. We discuss the integration of the one-parameter groups
$exp(t \Omega)$ and their combinatorial by-products. In particular we show how these groups can be realized as groups of substitutions with prefactor functions.
G. H. E. Duchamp, Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli, Jean-Yves Thibon, Noncommutative Symmetric Functions VII: Free Quasi-Symmetric Functions Revisited, Annals of Combinatorics, 15 Number 4 (2011).
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arXiv:0809.4479v2 [math.CO]
Résumé Nous montrons une identité de Cauchy pour les fonctions quasi-symétriques libres et appliquons cette identité à l'étude de différentes bases. Une formule de Weyl libre et une généralisation de la formule d'éclatement sont aussi discutées.
Abstract We prove a Cauchy identity for free quasi-symmetric functions and apply it to the study of various bases. A free Weyl formula and a generalization of the splitting formula are also discussed.
G. H. E. Duchamp, P. Blasiak, A. Horzela, K. A. Penson and A. I. Solomon , A three-parameter Hopf deformation of the algebra of Feynman-like diagrams , Russian Laser Research: Volume 31, Issue 2 (2010).
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arXiv:0704.2522v2 [math-ph]
Résumé Nous construisons une déformation à trois paramètres de l'algèbre de Hopf $\LDIAG$. C'est l'algèbre qui apparaît lors du développement, indexé aux diagrammes « Feynman-like », de la formule du produit d'une version simplifiée de la théorie quantique des champs. Cette déformation est une vraie déformation de Hopf qui se réduit à $\LDIAG$ pour un jeu de paramètres et à l'algèbre des fonctions Quasi-symétriques matricielles ($\MQS$) pour un autre et donc relie $\LDIAG$ à d'autres algèbres de Hopf de la physique contemporaine. De plus, il y a une application linéaire sujective compatible avec les produits de notre algèbre sur l'algèbre des sommes de Euler-Zagier.
Abstract We construct a three-parameter deformation of the Hopf algebra $\LDIAG$. This is the algebra that appears in an expansion in terms of Feynman-like diagrams of the {\em product formula} in a simplified version of Quantum Field Theory. This new algebra is a true Hopf deformation which reduces to $\LDIAG$ for some parameter values and to the algebra of Matrix Quasi-Symmetric Functions ($\MQS$) for others, and thus relates $\LDIAG$ to other Hopf algebras of contemporary physics. Moreover, there is an onto linear mapping preserving products from our algebra to the algebra of Euler-Zagier sums.
P. Blasiak, G. H. E. Duchamp, A. I. Solomon, A. Horzela, K. A. Penson, Combinatorial Algebra for second-quantized Quantum Theory , Adv. Theor. Math. Phys. 14 (2011) 1-35
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arXiv : 1001.4964 [math-ph].
Résumé Nous décrivons une algèbre G de diagrammes qui donne une representation sous forme de diagrammes à la fois de la structure de l'algèbre de Heisenberg-Weyl H, l'algèbre associative des opérateurs de création et annihilation de la mécanique quantique et aussi de U(LH), l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie de Heisenberg LH. Nous montrons explicitement comment G peut être munie d'une structure d'algèbre de Hopf qui reflète aussi celle de U(LH). Comme à la fois H et U(LH) sont des images de G, l'algèbre a une structure plus riche et incorpore une réaslisation combinatoire plus fine du système création-annihilation dont elle donne une réalisation concrète.
Abstract We describe an algebra G of diagrams which faithfully gives a diagrammatic
representation of the structures of both the Heisenberg-Weyl algebra H, the associative algebra of the creation and annihilation operators of quantum mechanics and U(LH), the enveloping algebra of the Heisenberg Lie algebra LH. We show explicitly how G may be endowed with the structure of a Hopf algebra, which is also mirrored in the structure of U(LH). While both H and U(LH) are images of G, the algebra G has a richer structure and therefore embodies a finer combinatorial realization of the creation-annihilation system, of which it provides a concrete model.
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Semigroup Forum, RAIRO Informatique, Discrete Math, Theoretical
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Journal of Algebra, Publications of LACIM, International Journal of Algebra and
Computation, Publ. RIMS Kyoto, Journal of Physics A,
Discrete Math. and Theoretical Computer Science (1),
Communications in Algebra, Inventiones Mathematic{\ae}, Advances in Theoretical
Mathematical Physics, J. Math. Phys.,
Journal of Nonlinear Systems and Applications, J. Phys. A,
Advances and Applications in Discrete Mathematics,
Russian Laser Research, Annals of Combinatorics,
Journal of Mathematical Physics,
Int. Journal of Modeling.