Résumé : La repr\'esentation int\'egrale des polylogarithmes, pour $|z|<1$, $${\rm Li}_{s_1,\ldots,s_r}(z)=\sum_{n_1>\ldots>n_r}\frac{z^{n_1}}{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}},$$ permet de le prolonger analytiquement sur ${\mathbb C}^r$. Aux entiers n\'egatifs, ils sont devenus des fonctions rationnelles en $z$ $${\rm Li}_{-s_1,\ldots,-s_r}(z)=\sum_{n_1>\ldots>n_r} n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r} z^{n_1}\in{\mathbb C}[z,1/z,1/(1-z)]$$ dont le d\'eveloppement de Laurent, en $z=1$, conduisent aux poly-Bernoulli.

Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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