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On trouvera dans [Naudin] une approche du symbole de Jacobi par Zolotarev
basée sur la signature d'une permutation.
Nous utiliserons la définition classique.
On prolonge le symbole de Legendre par
si a est un multiple
de b.
Pour
et b entier impair, on définit le symbole de Jacobi par
avec
décomposition de b en
facteurs premiers.On peut d'ores et déjà remarquer que
si
et seulement si a et b ne sont pas étrangers.
Ainsi, si a est un carré modulo b (b étant étranger avec a)
alors
. On remarquera aussi que
est non carré modulo b
mais qu'on peut avoir
sans que a soit un carré modulo b.
Exemple :
, or a=5 n'est
pas un carré dans
. Il est facile de voir que le symbole de Jacobi est un symbole totalement
bimultiplicatif : il est totalement multiplicatif en sa première variable car
![\begin{displaymath}
\left(\frac{a_1 a_2}{b}\right)=\left(\frac{a_1}{b}\right) \left(\frac{a_2}{b}\right)\end{displaymath}](img68.gif)
et il est totalement multiplicatif en sa deuxième variable car
![\begin{displaymath}
\left(\frac{a}{b_1 b_2}\right)=\left(\frac{a}{b_1}\right) \left(\frac{a}{b_2}\right).\end{displaymath}](img69.gif)
Par conséquent, la loi de réciprocité, une fois démontrée pour
le symbole de Legendre (ce que nous ferons dans le chapitre
suivant), vaut aussi pour le symbole de Jacobi ;
on obtient la loi de réciprocité généralisée :
![\begin{displaymath}
\left(\frac{a}{b}\right)=\left(\frac{b}{a}\right) (-1)^\frac{(a-1)(b-1)}{ 4}.\end{displaymath}](img70.gif)
La multiplicativité du symbole de Jacobi en fait un caractère
réel, on a vu l'importance de cette notion au §
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Cyril Banderier
7/23/1997