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Nous aurons besoin de la fonction
de Weierstrass qui est à la base de
la théorie des courbes elliptiques dont les résultats suivants dérivent
[Bayad], [Lang].
Soit R le réseau
.
est définie par
![\begin{displaymath}
\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega \in R^*}
\Bigl (\frac{1}{ (z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\Bigr )\end{displaymath}](img317.gif)
On peut sommer sur R car il y a convergence normale donc commutative.
On note
![\begin{displaymath}
g_2=60 \sum_{\omega \in R^*} \frac{1}{\omega^4} {\rm \ \ et \ \ }
g_3=140 \sum_{\omega \in R^*} \frac{1} {\omega^6}.\end{displaymath}](img318.gif)
On obtient ainsi la formule clef reliant la fonction de Weierstrass aux courbes
elliptiques, permettant de considérer
comme une ``paramétrisation''
de la courbe elliptique E :
![\begin{displaymath}
\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3.\end{displaymath}](img319.gif)
Ainsi (
) paramétrise
Y2=4X3-g2X-g3, de discriminant :
.On a ainsi un isomorphisme entre
et E donné par
.
Cyril Banderier
7/23/1997