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La somme de Gauss
est une racine carrée de
;
il s'ensuit que
est un
carré dans
si et seulement si
. Rappelons à cette
occasion qu'un élément
appartient à
si et seulement si
: en effet, le polynôme Xp-X a
au plus p racines dans le corps
et
tous les éléments de
sont racines. Le calcul de
est
facilité par le fait que nous sommes en caractéristique p :
![\begin{displaymath}
\tau^p=\sum_{x \in {\mathbb F}_q^*} \left(\frac{x}{q}\right)...
...t(\frac{y}{q}\right) \omega^{y}= \left(\frac{p}{q}\right) \tau.\end{displaymath}](img223.gif)
On en déduit que
est un carré dans
si et seulement si
p est un carré modulo q.
Il vient donc :
![\begin{displaymath}
\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{\left(\frac{-1}{q}\righ...
...ht)=\left(\frac{q}{p}\right) (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.\end{displaymath}](img225.gif)
QED.
Cyril Banderier
7/23/1997