Résumé : Le modèle du tas de sable abélien décrit d'une façon élémentaire des processus de diffusion dans des réseaux. Des configurations de sable instables se stabilisent en des configurations stables, suite à une dynamique de avalanches. Malgré sa simplicité, ce modèle présente des phenoménes surprenants. On peut ansi considérer des configurations instables très simples à décrire, sur des réseaux réguliers, et observer le résultat à la fin de l'avalanche : on verra apparaitre des formes fractales complexes. Une de ces configurations est l'identité récurrente, Id. Quand le graphe est une portion carrée, de taille L, du réseau carré. On a donc une suite Id(L) de configurations, qui, mises à l'échelle, semblent converger vers une forme limite fractale qui fascine les chercheurs depuis longtemps. On vient d'obtenir une description complète de cette forme. Ce résultat fait apparaitre plusieurs surprises : tous les points de contact entre les morceaux qui forment la fractale ont des coordonnées (x,y) qui appartiennent au meme corps cubique. Par exemple, le bien connu "carré bleu" qu'on trouve au milieu de la configuration est à une distance du bord de 0.58315637..., c'est-à-dire, la seule racine réelle de l'équation 2x^3+3x^2+x-2=0.

Dernière modification : Monday 18 March 2024

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