Résumé : Une sous-classe importante des fonctions holonomes est la classe des G-fonctions (définie par Siegel), qui jouent notamment un rôle important en théorie des nombres, en physique et en combinatoire. Une grande question, qui demeure en partie ouverte, est de comprendre de façon fine la structure de l'ensemble des valeurs prises par ces fonctions en des points algébriques. Ces valeurs englobent de célèbres constantes mathématiques, comme pi, les polyzêtas, des valeurs de fonctions hypergéométriques... Nous montrerons le résultat suivant : toute valeur en un point algébrique d'une G-fonction peut s'écrire f(1), où f est une G-fonction à coefficients rationnels dont le rayon de convergence peut de surcroît être choisi arbitrairement grand. On démontre aussi d'autres propriétés de ces valeurs de G-fonctions ; par exemple les constantes de connexion obtenues en prolongeant des G-fonctions sont de tels nombres. Il s'agit d'un travail en commun avec Tanguy Rivoal, dédié à la mémoire de Philippe Flajolet.

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Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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