Résumé : Les multizêtas sont les nombres définis par des sommes itérées sur les entiers strictement positifs, généralisant les valeurs de la fonction ζ de Riemann aux entiers supérieurs à 2. Ceux ci possèdent de nombreuses dénominations dans la littérature : polyzêtas, nombres d'Euler-Zagier, valeurs zêta multiples, sommes harmoniques multiples.... L'étude algébrique et arithmétique de ces nombres pourrait apparaître comme étant du folklore mathématique. Cependant, il n'en est rien : cette étude se trouve justifiée par l'apparition de ces nombres, depuis 30 ans, dans des domaines très variés et très actifs des mathématiques : théorie des nombres, groupes quantiques, diagrammes de Feynman, théorie de la résurgence, ...
Une généralisation fonctionnelle naturelle de ces nombres nous amène à considérer les ``multitangentes'' : il s'agit de fonctions méromorphes définies de manière analogue aux multizêtas, mais par des sommes itérées sur tous les entiers. Le but de l'exposé sera d'introduire les premières propriétés de ces fonctions, de montrer les liens profond entre multitangentes et multizêtas et de faire un état des lieux de ce que l'on sait faire et souhaite faire.
L'après midi sera consacré, en fonction des souhaits des auditeurs, à différents détails techniques, calculatoires ou combinatoires exposés le matin, à faire le point sur l'état d'avancement de certaines conjectures ou encore de généralisation elliptiques.

Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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