Résumé : Un pavage du plan est composé d'ensembles fermés appelés tuiles, qui couvrent le plan euclidien sans trou ni chevauchement. Ma thèse porte sur des pavages quasipériodiques : bien qu'ils ne soient pas périodiques, on y trouve partout les mêmes motifs finis et leurs propriétés peuvent être assez fortes. Les plus connus sont les pavages de Penrose, qui combinent un grand nombre de propriétés. On peut en effet les définir par des règles locales, des substitutions, par coupe et projection, ou comme système dynamique symbolique. De manière générale, les pavages quasipériodiques se définissent par une seule de ces méthodes, et on se demande quels liens il peut y avoir entre différentes façons de les définir ou représenter. La structure combinatoire d'un pavage peut être étudiée via le graphe d'adjacence des tuiles (ou graphe dual). Dans un tel graphe, on s'intéresse aux sous-arbres induits ayant le plus grand nombre possible de feuilles à nombre n de sommets fixé. La suite de ces maxima est appelée ``fonction feuille''. Dans ma thèse, je détermine la formule de la fonction feuille des pavages de Penrose, en utilisant les substitutions et règles locales pour exhiber une famille de sous-arbres induits ``pleinement feuillus'' arbitrairement grands. Ensuite, comme les barres d'Ammann des pavages de Penrose joué un rôle dans l'étude du problème ci-dessus, on tente de mieux les comprendre via la notion de sous-périodes, qui découlent d'un schéma de coupe et projection. On définit grâce à celles-ci une méthode permettant de trouver des barres d'Ammann pour de nombreux pavages, en construisant des jeux de tuiles décorées, qui sont apériodiques. Les pavages en questions peuvent alors être obtenus en assemblant les tuiles façon puzzle plutôt que par coupe et projection. Enfin, en utilisant les règles locales, on construit aussi un jeu de tuiles de Wang associé aux pavages golden octagonal. La démarche suivie permet en outre d'établir un lien explicite entre schéma de coupe et projection et partition de Markov offrant une représentation symbolique de ces pavages. Le caractère substitutif des pavages golden octagonal est montré.

Jury :
Alexandre BLONDIN MASSÉ, Université du Québec à Montréal - Directeur de thèse
Olivier BODINI, Université Sorbonne Paris Nord - Examinateur
Émilie CHARLIER, Université de Liège - Rapportrice
Thomas FERNIQUE, Université Sorbonne Paris Nord - Directeur de thèse
Samuel PETITE, Université de Picardie - Rapporteur
Christophe REUTENAUER, Université du Québec à Montréal - Examinateur
Laurent VUILLON, Université de Savoie - Examinateur

Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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