Résumé : Une façon d'apréhender un système dynamique $T:X\to X$ est de partitionner $X$ en un nombre fini de parties $P_i$ et d'associer à chaque point $x\in X$ un mot infini qui décrit la suite des atomes de la partitions rencontrés le long de l'orbite de $x$ par $T$. Ce codage symbolique permet, lorsque la partition est convenable, de décrire les propriétés dynamiques de $T$ (mesures invariantes, entropie, mélange, ...) en termes combinatoires (fréquences, complexité, ...). La complexité du codage symbolique est la fonction qui associe à tout entier $n$, le nombre de mots de longueur $n$ qui appraissent dans les mots infinis obtenus. Cette notion raffine la notion d'entropie. Étant donnée une translation $T$ du tore $\mathbb{T}^d$, nous pouvons essayer de la coder de sorte à avoir une complexité la plus faible possible. Nous verrons comment construire des partitions (dont le bord est nécéssairement fractal) qui permettent d'obtenir une complexité linéaire. Ce travail a été fait dans le cadre du groupe de travail Pytheas Fogg.

 [arXiv]

Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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