Résumé : On s'intéresse à deux problèmes d'énumération bijective, qui présentent une structure très similaire. Le premier, énoncé par Bousquet-Mélou et Mishna en 2010, a été réduit par Elizalde en 2014 à trouver une bijection entre les chemins sous-diagonaux de longueur paire utilisant des pas N,S,E,O finissant sur l'axe, et les excursions dans le quart de plan utilisant les mêmes pas. Le deuxième, énoncé en 2015 par Burrill et al., consiste à montrer bijectivement que les diagrammes de partition ouverts sans 3-croisement étendu sont énumérés par les nombres de Baxter. Il se ramène au problème précédent en utilisant cette fois les pas N,S,E,O,NO,NS,EO,ES. La similarité de ces deux problèmes nous amène à emprunter une démarche commune qui consiste à retirer les arcs ouverts de la représentation par diagrammes définie par Chen et al. en 2005, pour se ramener à des excursions sous-diagonales marquées. Au cours de la résolution de ces problèmes, on utilisera les forêts de Schnyder pour démontrer la symétrie de certaines statistiques, une méthode dont on verra qu'elle est en fait plus générale et permet dans plusieurs cas d'obtenir des symétries intéressantes.

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Dernière modification : Thursday 21 November 2024

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