Dans la généralisation aux résidus énièmes, l'extension doit contenir , une racine énième primitive de l'unité (i.e. et ). Nous désignerons, conventionnellement voire traditionnellement, un idéal premier par la lettre (ou ), P majuscule (ou minuscule) en alphabet gothique, en honneur à l'école algébrique allemande : en effet Kummer a introduit ses 'nombres idéaux' en 1844 [Dahan], puis Dedekind a développé la théorie des idéaux premiers. Dedekind, dans le Supplément aux `` Vorselungen über Zahlentheorie '' de Dirichlet, 1871, a introduit explicitement les notions de corps, d'anneau, de module et d'idéal.
Les idéaux premiers de qui ne divisent pas n vérifient où est la norme de l'idéal , égale au nombre de classes du plus grand ordre du corps modulo , dit plus simplement, est le cardinal de lorsque est un idéal de l'anneau des entiers du corps . L'analogue du symbole de Legendre est défini par . Tout comme pour le symbole de Jacobi, si est la décomposition de l'idéal principal (b) en idéaux premiers, et si a et b sont des entiers algébriques étrangers, alors : .Si, avec ce symbole de résidu n-ième, on a , alors il existe un entier algébrique tel que .
La loi de réciprocité pour n=4 dans le corps a été établie par Gauss. Pour n=3 dans le corps , elle a été établie par Eisenstein : Beweis des Reziprozitätgesetze für cübischen Reste, J. Math., 1844, utilisant la formule
(valable pour ). Kummer dans Allgemeine Reziprozitätgesezte beliebig hohe Potentzreste, Ber. K. Akad. Wiss., 1850, a établi la loi générale de réciprocité pour le symbole des résidus de degré p dans le corps , pour p premier. Dans le chapitre sur les nombres premiers réguliers p (voir §), on donnera une loi de réciprocité dans .