Loi de réciprocité quadratique dans ${\mathbb Q}(j)$

Quand d=-3, i.e. quand on est dans ${\mathbb Q}(j)$ (car ${\mathbb Q}(j)={\mathbb Q}(\frac{1+\sqrt{-3}}{ 2})=\frac{1}{2}{\mathbb Q}+ \fra... ...\mathbb Q}(\sqrt{-3})={\mathbb Q}+{\mathbb Q}(\sqrt{-3})={\mathbb Q}(\sqrt{-3})$), on a

$$\xi_\nu = \nu \prod_{\gamma \in \textrm{Ker}\, \nu - \{0\}} g(\gamma+\frac{1}{2})$$

où g est la fonction elliptique pour le réseau ${\mathbb Z}[j]$ définie par

$$g(z)=2 \frac{ \wp (z)-\wp (j^2/2)}{ \wp '(z)} \sqrt{\wp(\frac{1}{ 2}) (j-1)}.$$

Nota bene : $\xi_\nu \in \{-1,1\}$.

Les courbes elliptiques commencent à inonder le monde mathématique de leurs bienfaits. Durant ces dernières années, ne citons que la victoire de Wiles sur le problème de Fermat (voir §et §) ou le pavé dans la mare de Lenstra lorsqu'il sortit un nouvel algorithme de factorisation en 1985. On pourra consulter [Hellegouarch], [Knuth] et [Koblitz] pour une première approche.