Primo

Soit $\alpha \in {\mathbb Z}$ avec $kp=q \alpha + (-1)^{e_k}r_k$. Alors $\alpha= kp/q-(-1)^{e_k}r_k/q$.
On a 0<|(-1)^e_kr_k/q|<1/2. Si $e_k=0, \alpha \in ]\frac{kp}{q}-\frac{1}{2},\frac{kp}{q}[$ et nécessairement, $\alpha = E(kp/q)=E(kp/q)+e_k$.Si $e_k=1, \alpha \in ]\frac{kp}{q},\frac{kp}{q}+\frac{1}{2}[$ et nécessairement, $\alpha = E(kp/q)+1=E(kp/q)+e_k$.

Ainsi $kp=q(E(\frac{kp}{q})+e_k)+(-1)^{e_k} r_k$.